Falla el Teorema Fundamental del Calculo?

Integrar NO es lo contrario de derivar.

La integral, al menos para los propósitos de un ingeniero, puede definirse con la suma de Riemann, es decir, el límite de una sumatoria de f(x) por delta x, etcétera.

El gran descubrimiento de Newton y de Leibniz (que es la razón por la cual se les considera los padres del cálculo) es que No es necesario hacer ese tipo de sumatorias (aunque en sus tiempos ni siquiera existía todavía la notación de límite), si no que puedes tomar una antiderivada y evaluarla en el punto inicial y final, restar, y te da lo mismo que te daría todo el relajo de la sumatoria.

Así, cuando queremos integrar x^2 de 0 a 1, pues No es necesario hacer el límite de la sumatoria de bla bla bla, basta con encontrar una antiderivada (también conocida como primitiva) de x^2 y evaluarla en 1 y en 0 y restar, En este ejemplo la antiderivada (primitiva) es (x^3)/3, evaluada y restada es (1^3)/3-(0^3)/3=1/3, que es lo mismo que me daría la suma de Riemann, pero mucho más rápido.

Pero en el blog de Mathematica muestran un caso donde este esquema falla: Toman una antiderivada (primitiva) de cierta expresión, la evalúan en el punto final y en el punto inicial, restan, y falla, No da el resultado correcto:
http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/activity_fundamental_theorem/index.htm

¿Falló el Teorema Fundamental del Cálculo?

Nooooo,

Lo que pasa es que el TFC exige que usemos antiderivadas que sean continuas en todo el intervalo de integración, y la antiderivada que tramposamente se usa en ese ejemplo, como ellos mismos lo muestran después, No es continua en todo el intervalo de integración, así que No se puede usar para el TFC:
http://blog.wolfram.com/2008/01/mathematica_and_the_fundamental_theorem_of_calculus.html

¿Y por qué el TFC sólo sirve para antiderivadas continuas?

Eso lo pueden comprender bien en la siguiente explicación geométrica del TFC:
http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/activity_fundamental_theorem/index.htm

Las cancelaciones que se hacen en ese explicación geométrica, sólo se cancelan si la antiderivada es contínua.

¡Espero les parezca interesante!

José Luis